【题目】已知函数,
,
为自然对数的底数.
(1)当时,证明:函数
只有一个零点;
(2)若函数存在两个不同的极值点
,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)对函数求导得到函数的单调性,进而得到函数的最值,发现函数最大值等于0,从而得证;(2)原题等价于导函数存在两个变号零点,对导函数求导研究导函数的单调性,和图像性质,使得导函数有两个零点,进而得到结果.
(1)由题知:,
令,
,
当,
,所以
在
上单调递减.
因为,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,故
只有一个零点.
(2)由(1)知:不合题意,
当时,因为
,
;
,
;
又因为,所以
;
又因为,
因为函数,
,
,
所以,即
,
所以存在,满足
,
所以,
;
,
;
,
;
此时存在两个极值点
,0,符合题意.
当时,因为
,
;
,
;所以
;
所以,即
在
上单调递减,
所以无极值点,不合题意.
综上可得:.
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【题目】若圆经过坐标原点和点
,且与直线
相切, 从圆
外一点
向该圆引切线
,
为切点,
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)已知点,且
, 试判断点
是否总在某一定直线
上,若是,求出
的方程;若不是,请说明理由;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中直线与
轴的交点为
,点
是直线
上两动点,且以
为直径的圆
过点
,圆
是否过定点?证明你的结论.
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【题目】关于曲线的下列说法:(1)关于点
对称;(2)关于直线
轴对称;(3)关于直线
对称;(4)是封闭图形,面积小于
;(5)是封闭图形,面积大于
;(6)不是封闭图形,无面积可言.其中正确的序号是________.
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【题目】已知数列和
满足:
,且
成等比数列,
成等差数列.
(1)行列式,且
,求证:数列
是等差数列;
(2)在(1)的条件下,若不是常数列,
是等比数列,
①求和
的通项公式;
②设是正整数,若存在正整数
,使得
成等差数列,求
的最小值.
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【题目】如图,已知圆的方程为
,圆
的方程为
,若动圆
与圆
内切,与圆
外切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过直线上的点
作圆
的两条切线,设切点分别是
,
,若直线
与轨迹
交于
,
两点,求
的最小值.
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【题目】已知等差数列的前
项和为
,集合
,集合B={
x2﹣y2=1,x,y∈R},请判断下列三个命题的真假.若为真,请给予证明;若为假,请举出反例.
(1)以集合中的元素为坐标的点均在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠..
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【题目】在平面直角坐标系中,长度为2的线段EF的两端点E、F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C与轴交于
两点,P是轨迹C上异于
的任意一点,直线
交直线
于M点,直线
交直线
于N点,求证:以MN为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
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