Question

【题目】在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，四棱锥的体积，是的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）连接、交于点，连接，利用中位线的性质得出，可得出异面直线与所成角为或其补角，先由锥体的体积公式计算出，并证明出，然后利用锐角三角函数求出，由此可得出异面直线与所成角的大小；

（2）过点在平面内作，证明平面，并证明出平面，由此可得出点到平面的距离等于，然后利用等面积法计算出即可.

（1）连接、交于点，连接，则为的中点，

底面，且底面是边长为的正方形，底面积为，

则，解得.

、分别为、的中点，，

所以，异面直线与所成角为或其补角，

四边形是正方形，则，

又底面，平面，，

，平面，

平面，，即，

又，，

在中，，，

因此，异面直线与所成角的大小为；

（2）过点在平面内作，

底面，平面，，

四边形是正方形，则，，平面，

平面，，又，，平面，

，平面，平面，平面，

所以，点到平面的距离等于，

在中，，，由勾股定理得，

由等面积法得.

因此，点到平面的距离为.