【题目】已知函数,
.
(1)若在区间
上不是单调函数,求实数
的范围;
(2)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,设
,对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在
轴上?请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)若可导函数在指定的区间
上单调递增(减),求参数问题,可转化为
恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到,若不是单调函数,则不恒成立;(2)含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单,常用到两个结论:(1)
,(2)
.(3)与函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.
试题解析:解:(1)由
得,因
在区间
上不上单调函数
所以在
上最大值大于0,最小值小于0
,
由,得
,且等号不能同时取,
,即
恒成立,即
令,求导得
当时,
,从而
在
上是增函数,
由条件,
假设曲线上存在两点
满足题意,则
只能在
轴两侧
不妨设,则
,且
是以
为直角顶点的直角三角形,
是否存在等价于方程
在
且
是否有解
①当时,方程
为
,化简
,此方程无解;
②当时,方程
为
,即
设,则
显然,当时,
,即
在
上为增函数
的值域为
,即
,
当
时,方程
总有解
对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在
轴上
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列有关平面向量分解定理的四个命题:
(1)一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;
(2)一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;
(3)平面向量的基向量可能互相垂直;
(4)一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.
其中正确命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,
)B. (
,
]
C. [)D. [
)
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【题目】已知数列和
满足:
,且
成等比数列,
成等差数列.
(1)行列式,且
,求证:数列
是等差数列;
(2)在(1)的条件下,若不是常数列,
是等比数列,
①求和
的通项公式;
②设是正整数,若存在正整数
,使得
成等差数列,求
的最小值.
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【题目】下列命题中,正确的序号是_____
①直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行;
②过球面上任意两点的大圆有且只有一个;
③直四棱柱是直平行六面体;
④为异面直线,则过
且与
平行的平面有且仅有一个;
⑤两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.
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【题目】已知分别是双曲线E:
的左、右焦点,P是双曲线上一点,
到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当
时,
的面积为
,求此双曲线的方程。
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