Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？

（Ⅱ）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.

【解析】

(Ⅰ)对函数f(x)求导，根据二次导数判断函数的单调性，结合函数单调性和极值可得答案；（Ⅱ）对函数f(x)求导，对参数a进行讨论，根据函数的单调性即可判断出函数零点的个数.

（Ⅰ），，，

则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，

因为，，，，，

所以存在切线斜率，

使得，，，，

所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.

（Ⅱ），

当，有；，

在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；

当，有，；，

在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；

当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，

，

，，，

所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.

综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.