Question

【题目】已知等差数列的前项和为，集合，集合B＝{x2﹣y2＝1，x，y∈R}，请判断下列三个命题的真假.若为真，请给予证明；若为假，请举出反例.

（1）以集合中的元素为坐标的点均在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠．.

Answer 1

【答案】（1）真命题，点（an，）均在直线y＝x+a1上，见解析；（2）真命题，见解析；（3）假命题，见解析

【解析】

（1）在等差数列中，写出数列的前n项和的公式，表达出集合中的元素，得到点的坐标适合直线的方程．

（2）列出方程组，利用消元法求出方程组的解，验证这个方程组只有一个解，得到这个集合至多有一个元素．

（3）验证当首项为1，公差为1时，集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠，根据（2）的结论，A∩B至多有一个元素（x0，y0），当a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的．

（1）在等差数列{an}中，对一切n∈N*，有Sn＝，则，

这表明点（an，）适合方程y＝（x+a1），于是点（an，）均在直线y＝x+a1上．

（2）设（x，y）∈A∩B，则x，y是方程组的解，

由方程组消去y得2a1x+a12＝﹣4，

当a1＝0时，方程2a1x+a12＝﹣4无解，此时A∩B＝；

当a1≠0时，方程2a1x+a12＝﹣4只有一个解x＝，此时，方程组只有一解，

故上述方程组至多有解，∴A∩B至多有一个元素．

（3）取a1＝1，d＝1，对一切的n∈N*，有an＝a1+（n﹣1）d＝n＞0，＞0，

这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠，

那么根据（2）的结论，A∩B至多有一个元素（x0，y0），

而x0＝＝﹣＜0，y0＝＝﹣＜0，这样的（x0，y0）A，产生矛盾，故a1＝1，d＝1时，A∩B＝，

∴当a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的．