【题目】在直角坐标系中,椭圆
的方程为
,左右焦点分别为
,
,
为短轴的一个端点,且
的面积为
.设过原点的直线
与椭圆
交于
两点,
为椭圆
上异于
的一点,且直线
,
的斜率都存在,
.
(1)求的值;
(2)设为椭圆
上位于
轴上方的一点,且
轴,
、
为曲线
上不同于
的两点,且
,设直线
与
轴交于点
,求
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)设点A(x1,y1)、P(x2,y2),则B(-x1,-y1),将点A、P的坐标代入椭圆C的方程,得出两个等式,将两等式相减,结合直线PA、PB的斜率之积,得出=
,再利用△RF1F2的面积为
,得出bc=
,联立两个方程,可求出a、b的值;
(2)设直线QM的斜率为k,结合已知条件得出直线QN的斜率为-k,将直线QM的方程与椭圆方程联立,求出点M的横坐标,利用-k代替k得出点N的横坐标,然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为,于是得出直线MN的方程为y=
x+d,将直线MN的方程与椭圆C的方程联立,由△>0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围.
(1)解:设,
,则
,
进一步得,,
,
两个等式相减得,,
所以,所以
,
因为,所以
,即
,
设,
,
因为,所以
,
由的面积为
得,
,即
,
即,
,所以
,
;
(2)设直线的斜率为
,
因为,所以
,
关于直线
对称,
所以直线的斜率为
,
算得,
,
所以直线的方程是
,
设,
由消去
得,
,
所以,所以
,
将上式中的换成
得,
,
所以
,
所以直线的方程是
,
代入椭圆方程得,
,
所以,所以
,
又因为在
点下方,所以
,所以
.
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【题目】我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作
.已知向量列
满足
且
.
(1)证明数列是等比数列;
(2)求间的夹角
;
(3)设,问数列
中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
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【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
,
,以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
,交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成的角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】已知:椭圆的焦点在
轴上,左焦点
与短轴两顶点围成面积为
的等腰直角三角形,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】有一种大型商品,、
两地都有出售,且价格相同,现
地的居民从
、
两地之一购得商品后回运的运费是:
地每公里的运费是
地运费的
倍,已知
、
两地相距
,居民选择
或
地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.
(1)求地的居民选择
地或
地购物总费用相等时,点
所在曲线的形状;
(2)指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
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【题目】已知函数,
,其中
且
,
.
(1)若函数f(x)与g(x)有相同的极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值),求k的值;
(2)当m>0,k = 0时,求证:函数有两个不同的零点;
(3)若,记函数
,若
,使
,求k的取值范围.
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【题目】下列有关平面向量分解定理的四个命题:
(1)一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;
(2)一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;
(3)平面向量的基向量可能互相垂直;
(4)一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.
其中正确命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,
)B. (
,
]
C. [)D. [
)
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