【题目】已知函数,
,其中
且
,
.
(1)若函数f(x)与g(x)有相同的极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值),求k的值;
(2)当m>0,k = 0时,求证:函数有两个不同的零点;
(3)若,记函数
,若
,使
,求k的取值范围.
【答案】(1)0;(2)详见解析;(3)或
.
【解析】
(1)分别求得与
的极值点,利用极值点相同构造方程,求得
;(2)首先求得
在
上单调递减,在
上单调递增;再通过零点存在定理,分别在两段区间找到零点所在大致区间,根据单调性可知仅有这两个不同零点;(3)根据已知关系,将问题变为:
,又
,则可分别在
,
,
三个范围内去求解最值,从而求解出
的范围.
(1)因为,所以
令,得
当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增;
所以为
的极值点
因为,
,所以函数
的极值点为
因为函数与
有相同的极值点,所以
所以
(2)由题意,所以
因为,所以
令,得
当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增;
所以为
的极值点
因为,
,又
在
上连续且单调
所以在
上有唯一零点
取满足
且
则
因为且
,所以
所以,又
在
上连续且单调
所以在
上有唯一零点
综上,函数有两个不同的零点
(3)时,
由,使
,则有
由于
①当时,
,
在
上单调递减
所以
即,得
②当时,
,
在
上单调递增
所以
即,得
③当时,
在上,
,
在
上单调递减;
在上,
,
在
上单调递增;
所以
即(*)
易知在
上单调递减
故,而
,所以不等式(*)无解
综上,实数的取值范围为
或
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【题目】小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率
;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率
,他发现
,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为
,求
及
;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
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【题目】在直角坐标系中,椭圆
的方程为
,左右焦点分别为
,
,
为短轴的一个端点,且
的面积为
.设过原点的直线
与椭圆
交于
两点,
为椭圆
上异于
的一点,且直线
,
的斜率都存在,
.
(1)求的值;
(2)设为椭圆
上位于
轴上方的一点,且
轴,
、
为曲线
上不同于
的两点,且
,设直线
与
轴交于点
,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然对数的底数,e≈2.718…).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
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【题目】如图,是坐标原点,过
的直线分别交抛物线
于
、
两点,直线
与过点
平行于
轴的直线相交于点
,过点
与此抛物线相切的直线与直线
相交于点
.则
( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知,
.
(1)当时,求函数
图象在
处的切线方程;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求
的取值范围;
(3)若存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为
,
为坐标原点.
(1)若斜率为的直线
交椭圆
于点
,若线段
的中点为
,直线
的斜率为
,求
的值;
(2)已知点是椭圆
上异于椭圆顶点的一点,延长直线
,
分别与椭圆交于点
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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