【题目】已知函数f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然对数的底数,e≈2.718…).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)4
【解析】
(1)对求导,通过
的正负,列表分析
的单调性进而求得极值.
(2)先求得的解析式,对其求导,原题转化为导函数
在
上恒成立,令
,求得a的范围.(3)由题意知
在
上有两个不等实根,即
在
上有两个不等实根,对
求导分析可得
在
和
上各有一个实根,从而得到极大值
,将
视为关于
的函数,求导得到
,又因为
,得到整数b的最小值.
(1),
,令
,解得
,列表:
2 | |||
+ | 0 | - | |
极大值 |
∴当时,函数
取得极大值
,无极小值
(2)由,得
∵,令
,
∴函数在区间
上单调递增等价于对任意的
,函数
恒成立
∴,解得
.
(3),
令,
∵在
上既存在极大值又存在极小值,∴
在
上有两个不等实根,
即在
上有两个不等实根
.
∵
∴当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减
则,∴
,解得
,∴
∵在
上连续且
,
∴在
和
上各有一个实根
∴函数在
上既存在极大值又存在极小值时,有
,并且在区间
上存在极小值
,在区间
上存在极大值
.
∴,且
,
令,
,当
时,
,
单调递减
∵,∴
,即
,则
∵的极大值小于整数
,∴满足题意的整数
的最小值为4.
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【题目】已知某公司成本为元,所得的利润
元的几组数据入下.
第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 | |
1 | 4 | 5 | 2 | 3 | |
2 | 1 | 3 | 4 | 0 |
根据上表数据求得回归直线方程为:
(1)若这个公司所规划的利润为200万元,估算一下它的成本可能是多少?(保留1位小数)
(2)在每一组数据中,,
相差
,记为事件
;
,
相差
,记为事件
;
,
相差
,记为事件
.随机抽两组进行分析,则抽到有事件
发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设∠BAD=
,
(
,
).
(1)当cos=
时,求小路AC的长度;
(2)当草坪ABCD的面积最大时,求此时小路BD的长度.
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【题目】某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形(边长为2个单位)的顶点
处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为
,则棋子就按逆时针方向行走
个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点
处的所有不同走法共有( )
A. 22种 B. 24种 C. 25种 D. 27种
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【题目】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示甲,在四边形ABCD中,,
,
是边长为8的正三角形,把
沿AC折起到
的位置,使得平面
平面ACD,如图所示乙所示,点O,M,N分别为棱AC,PA,AD的中点.
求证:
平面PON;
求三棱锥
的体积.
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