Question

20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）²+y²=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．

Answer 1

分析 （I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x₁，-y₁），直线方程与椭圆方程联立可得：（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，
∵|ME|+|MF|＞|EF|，
∴点M的轨迹是以点F（1，0）和E（-1，0）为焦点，2a=4的椭圆，
∴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，
∴曲线Γ的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$． 
（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x₁，-y₁），
∴$\overrightarrow{S{A}^{′}}$=（x₁-s，-y₁），$\overrightarrow{SB}$=（x₂-s，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x-m）\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，
△＞0，即（4-m²）k²+3＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}m}}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}.\end{array}\right.$，
当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得（x₁-s）y₂+（x₂-s）y₁=0，
即k（x₁-s）（x₂-m）+k（x₂-s）（x₁-m）=0，2x₁x₂-（s+m）（x₁+x₂）+2sm=0，
∴$AC=\sqrt{E{C^2}+A{E^2}}=2\sqrt{3}$，
∴$\frac{6sm-24}{{3+4{k^2}}}=0$，
∴$s=\frac{4}{m}$，即$S（\frac{4}{m}，0）$，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点$S（\frac{4}{m}，0）$．
综上述，直线A'B恒过一个定点$S（\frac{4}{m}，0）$，且$|{OS}|•|{OQ}|=\frac{4}{m}•m$=4．

点评 本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．