Question

【题目】如图， 在四棱锥中， 底面， ，， ，，点为棱的中点.

（1）证明：：

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为棱上一点， 满足， 求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2） （3）

【解析】

（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.

（2）先求得平面的法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；

（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.

（1）证明：∵底面，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵，，点为棱 的中点．

∴，，，，

，

，

.

（2）,

设平面的法向量为.

则，代入可得，

令解得，即，

设直线与平面所成角为，由直线与平面夹角可知

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3），

由点在棱上，设，

故，

由，得，

解得，

即，

设平面的法向量为，

由，得，

令，则

取平面的法向量，

则二面角的平面角满足，

由图可知，二面角为锐二面角，

故二面角的余弦值为.