Question

【题目】已知函数，．

求在上的最小值；

若m为整数，当时，恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

求出函数的导函数，讨论m的取值，研究函数在上的单调性进行求解即可得到结论．
把当时恒成立，转化为，构造函数，利用导数求得函数的最小值的范围得答案．

函数的导数，

由得，

由得，此时函数为增函数，

由得，此时函数为减函数，

即当时，函数取得极小值，，．

若即时，函数在上是增函数，此时函数的最小值为，

若即时，函数在上是减函数，此时函数的最小值为，

若，即时，函数的最小值为；

当时，，

不等式，等价为，即

令，则，

函数在上单调递增，而，，

在上存在唯一的零点，

故在上存在唯一的零点．

设此零点为a，则．

当时，；当时，；

在上的最小值为由，可得，

，

由于式等价于，

故整数m的最大值为2．