Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：

①点的极角；

②面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②

【解析】

（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.

（2）

①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.

②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.

解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

因为则曲线的参数方程

所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.

所以的极坐标方程为，即.

（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点

极径为，且，所以为等腰三角形，

又直线的普通方程为，

又点的极角为锐角，所以，所以，

所以点的极角为.

②解法1：直线的普通方程为.

曲线上的点到直线的距离

.

当，即（）时，

取到最小值为.

当，即（）时，

取到最大值为.

所以面积的最大值为；

所以面积的最小值为；

故面积的取值范围.

解法2：直线的普通方程为.

因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，

因为，所以圆与直线相离.

所以圆上的点到直线的距离最大值为，

最小值为.

所以面积的最大值为；

所以面积的最小值为；

故面积的取值范围.