Question

【题目】如图，在中，，，，E，F分别为，的中点,是由绕直线旋转得到，连结，，.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为60°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证平面，则证和；证由平面几何知识可得，证，只需证，即证平面，利用线面垂直判定可得.

（2）建立空间直角坐标系，根据与平面所成的角为60°，可知为等边三角形，分别计算平面、平面的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果.

解法一：

（1）因为由沿旋转得到，且E为中点，

所以.所以

又因为F为的中点，所以，

又，所以，

从而，又，所以平面，

即平面，又平面，所以，

又且，所以平面

（2）由（1）得平面，因为平面，

所以平面平面

过点P作，交于M

又平面平面，故平面，

所以为与平面所成的角，

所以，

又，所以为等边三角形，

得M为中点，由平面，

分别以，为x，y轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，

易得平面的一个法向量为，

，

设为平面的一个法向量，则：

，即，

令，得，

又因为二面角的大小为钝角，

故二面角的余弦值为

解法二：

（1）因为由沿旋转得到，所以，

又因为E为的中点，所以.

所以，即，

同理，，得，

又，所以平面

（2）由（1）得，又，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

过点P作，垂足为M，

因为平面平面，所以平面，

所以为与平面所成的角，所以，

因为，所以为等边三角形，所以M为中点，

取的中点N，连接，所以，所以平面，

分别以，，为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，

易得平面的一个法向量为，

，

设为平面的一个法向量，则：

，即，

令，得，

又因为二面角的大小为钝角，

故二面角的余弦值为