Question

【题目】已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明：；

（Ⅲ）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）没有实数解．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为在区间上为增函数在上恒成立，在上恒成立；（Ⅱ）当时， 再利用导数工具得成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ． 设利用导数工具求得， 即方程没有实数解．

试题解析：函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，

则 ………………………………………………………4分

（Ⅱ）当时，,．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增．

令,得，所以函数在单调递减．

所以，．

所以成立． …………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ， 所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，

令,得，所以函数在单调递减；

所以，， 即．

所以 ，即．

所以，方程没有实数解． ……………………………………………12分