Question

已知函数f（x）=e^x•（ax²-2x-2），a∈R且a≠0，当a＞0时，求函数f（|cosx|）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：欲求函数f（|cosx|）的最大值和最小值，利用导数研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值最小值．

解答：解：f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•ex•(x-

2

a

)(x+2)．（（3分））
设|cosx|=t（0≤t≤1），只需求函数y=f（t）（0≤t≤1）的最大值和最小值．（7分）
令f′（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2．
∵a＞0，∴

2

a

＞-2．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

函数f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上单调递增；在(-2，

2

a

)上单调递减；（9分）
当

2

a

≥1，即0＜a≤2时，函数f（t）在[0，1]上为减函数．y_min=f（1）=（a-4）e，y_max=f（0）=-2．
当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，函数f（x）的极小值为[0，1]上的最小值，
∴ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
函数f（t）在[0，1]上的最大值为f（0）与f（1）中的较大者．
∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e．
∴当a＞4-

2

e

时，f（1）＞f（0），此时y_max=f（1）=（a-4）e；
当a=4-

2

e

时，f（1）=f（0），此时y_max=f（0）=f（1）=-2；
当2＜a＜4-

2

e

时，f（1）＜f（0），此时y_max=f（0）=-2．（12分）
综上，当0＜a≤2时，f（|cosx|）的最小值为（a-4）e，最大值为-2；
当2＜a≤4-

2

e

时，f（|cosx|）的最小值为-2e

2

a

，最大值为-2；
当a＞4-

2

e

时，f（|cosx|）的最小值为-2e

2

a

，最大值为（a-4）e．（13分）

点评：本小题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线单调性等基础知识，考查运算求解能力和分类讨论思想．属于基础题．