Question

锐角△ABC中，边a，b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=

3

2

，求：
（Ⅰ）角C的大小；
（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=

3

2

，得sin（A+B）=

3

2

，由△ABC为锐角三角形，可得A+B=120°，即可求∠C．
（Ⅱ）由题意a+b=2

3

，ab=2，由余弦定理可求得c²=6，从而可求边c的长度及△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=

3

2

，得sin（A+B）=

3

2

…2分
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，
∴∠C=60°…5分
（Ⅱ）∵a，b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

，ab=2…7分
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6…9分
∴c=

6

…10分
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

…12分

点评：本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换的应用，属于基础题．