Question

【题目】（本小题共13分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，AB=,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

Answer 1

【答案】（共13分）

证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1

所以四边形AGEF为平行四边形

所以AF∥EG

因为EG平面BDE,AF平面BDE,

所以AF∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

【解析】

证明:(1)设AC与BD交于点G.

因为EF∥AG,

且EF=1,AG=AC=1,

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以AF∥EG.

因为EG平面BDE,AF平面BDE,

所以AF∥平面BDE.

(2)连接FG.

因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,

所以四边形CEFG为菱形.

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.

又因为平面ACEF⊥平面ABCD,

且平面ACEF∩平面ABCD=AC,

所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.

又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.