Question

（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x），f（x+1），f（x²）；
（2）已知2f（x）+f（

1

x

）=10^x，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元法，设t=

x

+1≥1，则x=（t-1）²，易得f（t），进而可得答案；
（2）

1

x

代换已知式子x可得另一个式子，两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）解析式．

解答： 解：（1）设t=

x

+1≥1，则

x

=t-1（t≥1），即x=（t-1）²，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1（t≥1），
∴f（x）=x²-1（x≥1），
∴f（x+1）=（x+1）²-1=x²+2x（x≥0），
∴f（x²）=x⁴-1（x≤-1或x≥1）．
（2）由2f（x）+f（

1

x

）=10^x，用

1

x

代换x可得2f（

1

x

）+f（x）=10

1

x

，
两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）=

2

3

×10^x-

1

3

×10

1

x

点评：本题考查函数解析式的求解方法，涉及换元和构造方程组的方法，属基础题．