Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB的中点，AD的中点为O，求：
（1）异面直线AE与CF所成的角的余弦值；
（2）点O到平面EFC的距离；
（3）二面角E-FC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）取EB的中点G，连结FG，则FG∥AE，则∠GFC为AE与CF所成角，求出CG，CF的长，即可求异面直线AE与CF所成的角的余弦值；
（2）作CF⊥ER，过O作OH⊥ER且与ER交于点H，则OH⊥平面EFC，OH的长即为点O到平面EFC的距离，利用等面积，可求点O到平面EFC的距离；
（3）由（2）知，∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角，利用正切函数，即可求二面角E-FC-D的正切值．

解答： 解：（1）取EB的中点G，连结FG，则FG∥AE，则∠GFC为AE与CF所成角，
∵侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴AB⊥平面EAD．
∴AB⊥EA?
∵AB=2BC=2，∴EB=

EA2+AB2

=

5

．
同理，EC=

5

．
∴在△EBC中，CG=

7

2

．
又∵FG=

1

2

EA=

1

2

，CF=

BC2+BF2

=

2

．
∴cos∠CFG=

2

4

．
∴异面直线AE与CF所成的角的余弦值为

2

4

．
（2）作CF⊥ER，则
∵侧面△ADE是正三角形，AD的中点为O，
∴EO⊥底面ABCD
∵侧面△ADE垂直于底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，
∵FC?平面ABCD
∴EO⊥FC
∵EO∩ER=E
∴CF⊥平面EOR
∵CF?平面EFC
∴平面EOR⊥平面EFC．
过O作OH⊥ER且与ER交于点H，则OH⊥平面EFC，
∴OH的长即为点O到平面EFC的距离．
∵S_△CFO=S_矩形ABCD-S_△AOF-S_△CBF-S_△COD?
∴OR=

3 2

4

．
在Rt△EOR中，OH=

EO•OR

ER

=

3 5

10

．
∴所求距离为

3 5

10

．
（3）由（2）知，∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角，
则tan∠ERO=

EO

OR

=

3 2

3 2 4

=

6

3

，
∴所求二面角的正切值为

6

3

．

点评：本题考查空间角，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．