Question

已知

a

=（1，2），

b

=（x，y）．
（Ⅰ）若x是从-2，0，1，2四个数中任取的一个数，y是从-1，0，1三个数中任取的一个数，求

a

⊥

b

的概率．
（Ⅱ）若x是从区间[-1，2]中任取的一个数，y是从区间[-1，1]中任取的一个数，求

a

，

b

的夹角是钝角的概率．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,几何概型

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）设“

a

⊥

b

”为事件A，由

a

⊥

b

，得x-2y=0．所有的（x，y）的集合Ω共包含12个基本事件．
其中A包含3个基本事件，由此求得事件A发生的概率．
（Ⅱ）设“

a

，

b

的夹角是钝角”为事件B，由

a

•

b

＜0，求得B包含的区域，求得Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}，则B包含区域的面积除以Ω包含区域的面积，即为所求．

解答： 解：（Ⅰ）设“

a

⊥

b

”为事件A，由

a

⊥

b

，得x-2y=0．
所有的（x，y）的集合Ω={（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）}共包含12个基本事件．
其中A={（-2，-1），（0，0），（2，1）}，包含3个基本事件，
则P(A)=

3

12

=

1

4

．
（Ⅱ）设“

a

，

b

的夹角是钝角”为事件B，由

a

，

b

的夹角是钝角，
可得

a

•

b

＜0，即x-2y＜0且y≠-2x，x＜0．
∵Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1，x-2y＜0}，
则P(B)=

SB

SΩ

=

1 2 × 3 2 ×3

3×2

=

3

8

．

点评：本题主要考查两个向量垂直的条件、用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，几何概型的应用，属于中档题．