Question

设p：

m-2

m-3

≤

2

3

，q：关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p或q为真命题，p且q为假命题．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,简易逻辑

分析：通过解分式不等式求得命题p为真时m的范围；根据一元二次不等式解集为空集的条件求得命题q为真时m的范围，再根据复合命题真值表知，
若p∨q真，p∧q假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时m的范围，再求并集．

解答： 解：若p为真命题

m-2

m-3

≤

2

3

，化为

m

m-3

≤0，
∴0≤m＜3．------（4分）
若q为真命题
∵不等式x²-4x+m²≤0的解集为∅，
∴△=16-4m²＜0，∴m＜-2或m＞2．------（8分）
∵p或q真，p且q假，∴p与q有且仅有一真．------（9分）
当p成立而q不成立时，0≤m≤2．------（11分）
当p不成立而q成立时，m＜-2或m≥3．------（13分）
综上所述，m∈（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．------（14分）

点评：本题考查复合命题的真假判定，解题的关键是求得简单命题为真时的条件．