Question

如图，平面α内一椭圆C：

x2

4

+y²=1，F₁、F₂分别是其焦点，P为椭圆C上的点，已知AF₁⊥α，BF₂⊥α，|AF₁|=|BF₂|=1，直线PA、PB和平面α所成角分别为θ、φ．
（1）求证：cotθ+cotφ=4；
（2）若θ+φ=

π

2

，求直线PA与PB所成角的大小．

Answer 1

考点：椭圆的应用,余弦定理

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=4，利用直线PA、PB和平面α所成角分别为θ、φ，结合三角函数，即可得出结论；
（2）先求出sin2θ=

1

2

，再利用余弦定理，即可求直线PA与PB所成角的大小．

解答： （1）证明：∵椭圆C：

x2

4

+y²=1，F₁、F₂分别是其焦点，P为椭圆C上的点，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，
∵AF₁⊥α，BF₂⊥α，|AF₁|=|BF₂|=1，直线PA、PB和平面α所成角分别为θ、φ，
∴cotθ+cotφ=|PF₁|+|PF₂|=4；
（2）解：∵cotθ+cotφ=4，θ+φ=

π

2

，
∴cotθ++tanθ=4，
∴sin2θ=

1

2

，
∴cos∠APB=

|AP|2+|BP|2-|F1F2|2

2|AP||BP|

=

csc2θ+sec2θ-12

2csc•secθ

=

1-3sin22θ

2in2θ

=

1

2

，
∴∠APB=60°，即直线PA与PB所成角的大小为60°．

点评：本题考查椭圆的定义，考查线面角，考查余弦定理，正确运用椭圆的定义是关键．