Question

4．如图所示，函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，则S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=2015．

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所给式子的值．

解答 解：由函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，可得B=1，A=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
周期为T=4=$\frac{2π}{ω}$，求得ω=$\frac{π}{2}$．
再把点（0，1）代入，可得$\frac{1}{2}$sinφ+1=1，可得sinφ=0，故可取φ=0，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$x）+1，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$\frac{3}{2}$+1+$\frac{1}{2}$+1=4，
S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）
=503×4+$\frac{3}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=2015，
故答案为：2015．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，函数的周期性的应用，属于中档题．