Question

(理)已知函数f(x)=x,g(x)=ln(1+x),h(x)=.

(1)证明当x＞0时,恒有f(x)＞g(x);

(2)当x＞0时,不等式g(x)＞(k≥0)恒成立,求实数k的取值范围;

(3)在x轴正半轴上有一动点D(x,0),过D作x轴的垂线依次交函数f(x)、g(x)、h(x)的图象于点A、B、C,O为坐标原点.试将△AOB与△BOC的面积比表示为x的函数m(x),并判断m(x)是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,请说明理由.

(文)已知函数f(x)=,x∈(0,+∞),数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=f(a_n);数列{b_n}满足b₁=1,b_n+1=,其中S_n为数列{b_n}的前n项和,n=1,2,3,….

(1)求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式;

(2)设T_n=,证明T_n＜3.

Answer 1

答案：(理)(1)证明:设F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=,

当x＞0时,F′(x)＞0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.又F(x)在x=0处连续,所以F(x)＞F(0)=0,即f(x)-g(x)＞0.所以f(x)＞g(x).

(2)解：设G(x)=g(x),则G(x)在(0,+∞)上恒大于0,G(x)=ln(1+x)-k+,

G′(x)=,

x²+(2k-k²)x=0的根为0和k²-2k,即在区间(0,+∞)上,G′(x)=0的根为0和k²-2k,若k²-2k＞0,则G(x)在(0,k²-2k)上单调递减,且G(0)=0,与G(x)在(0,+∞)上恒大于0矛盾;若k²-2k≤0,G(x)在(0,+∞)上单调递增,且G(0)=0,满足题设条件,所以k²-2k≤0.所以0≤k≤2.

(3)解：m(x)=,

m′(x)=,

其分母为正数,其分子为ln(1+x)·.

由第(2)问,知ln(1+x)＞在(0,+∞)上恒成立,所以m′(x)＞0在(0,+∞)上恒成立,即m(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,故m(x)无极值.

(文)(1)解：∵f(x)=,a_n+1=f(a_n),∴a_n+1=.∴.

∴为以=1为首项、以2为公差的等差数列.∴=1+(n-1)·2.∴a_n=.

又∵f(x)=,b_n+1=,∴b_n+1==2S_n+1.

∴b_n+2=2S_n+1+1.∴b_n+2-b_n+1=2(S_n+1-S_n).∴b_n+2=3b_n+1.∵b₁=1,b₂=2S₁+1=3,∴{b_n}为以b₁=1为首项、以q=3为公比的等比数列.b_n=3^n-1.

(2)证明:依题意T_n=1·1+3·+5·()²+7·()³+…+(2n-1)()^n-1,

T_n=1·+3·()²+5·()³+…+(2n-3)·()^n-1+(2n-1)·()ⁿ,

∴T_n=1+2［+()²+()³+…+()^n-1］-(2n-1)·()ⁿ=1+2·-(2n-1)()ⁿ.

∴T_n=2-()^n-1-(2n-1)()ⁿ.

∴T_n=3-·()^n-1-·(2n-1)()ⁿ＜3.