Question

11．已知（1-$\frac{x}{2}$）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（x∈N^*）
（1）当n=5时，求系数a_i的最大值和最小值；
（2）若a₃=-$\frac{1}{2}$，求n的值；
（3）求证：a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）当n=5时，$（1-\frac{x}{2}）^{10}$=${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}$+…+${a}_{10}{x}^{10}$，a_i=${∁}_{10}^{i}$$（-\frac{1}{2}）^{i}$，假设|a_k|最大．则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k+1}（\frac{1}{2}）^{k+1}}\\{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k-1}（\frac{1}{2}）^{k-1}}\end{array}\right.$，解得k即可得出．
（2）a₃=-$\frac{1}{2}$，则${∁}_{2n}^{3}$$（-\frac{1}{2}）^{3}$=-$\frac{1}{2}$，化为：2n³-3n²+n-6=0，解得n．
（3）a_n=${∁}_{2n}^{n}$$（-\frac{1}{2}）^{n}$≤${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$，要证明a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．只要证明：${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．即要证明：${∁}_{2n}^{n}$＜$\frac{{4}^{n}}{\sqrt{2n+1}}$．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 （1）解：当n=5时，$（1-\frac{x}{2}）^{10}$=${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}$+…+${a}_{10}{x}^{10}$，a_i=${∁}_{10}^{i}$$（-\frac{1}{2}）^{i}$，假设|a_k|最大．则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k+1}（\frac{1}{2}）^{k+1}}\\{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k-1}（\frac{1}{2}）^{k-1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{3}≤k≤\frac{11}{3}$，解得k=3．∴当k=3时，a₃=${∁}_{10}^{3}（-\frac{1}{2}）^{3}$=-15最小．
a₂=${∁}_{10}^{2}（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{45}{4}$，a₄=${∁}_{10}^{4}$$（-\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{105}{8}$＞a₂，∴a₄最大．
（2）解：a₃=-$\frac{1}{2}$，则${∁}_{2n}^{3}$$（-\frac{1}{2}）^{3}$=-$\frac{1}{2}$，化为：2n³-3n²+n-6=0，∴（n-2）（2n²+n+3）=0，解得n=2．
（3）证明：∵a_n=${∁}_{2n}^{n}$$（-\frac{1}{2}）^{n}$≤${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$，要证明a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．只要证明：${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．即要证明：${∁}_{2n}^{n}$＜$\frac{{4}^{n}}{\sqrt{2n+1}}$．下面利用数学归纳法证明：（i）当n=1时，${∁}_{2}^{1}$=2＜$\frac{4}{\sqrt{3}}$，因此成立．
（ii）假设当n=k∈N^*时，${∁}_{2k}^{k}$＜$\frac{{4}^{k}}{\sqrt{2k+1}}$．则n=k+1时，${∁}_{2k+2}^{k+1}$=$\frac{（2k+2）!}{（k+1）!（k+1）!}$=$\frac{（2k+2）（2k+1）（2k）!}{（k+1）^{2}k!k！}$＜$\frac{2（2k+1）}{（k+1）}$•$\frac{{4}^{k}}{\sqrt{2k+1}}$=$\frac{\sqrt{2k+1}•{4}^{k+1}}{\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}}$＜$\frac{\sqrt{2k+1}•{4}^{k+1}}{\sqrt{4{k}^{2}+8k+3}}$＜$\frac{{4}^{k+1}}{\sqrt{2k+3}}$，因此n=k+1时也成立．
综上可得：a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）成立．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式、数学归纳法、不等式的性质、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．