Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{b-c}{a}=\frac{sinA-sinC}{sinB+sinC}$．
（I）求B；
（II）若a+c=5，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得，
（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得$\frac{b-c}{a}$=$\frac{sinA-sinC}{sinB+sinC}$=$\frac{a-c}{b+c}$，
∴b²-c²=a²-ac，
∴a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ac=6，
由余弦定理知b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB）=25-2×6×$\frac{3}{2}$=7，
∴b=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题