Question

16．某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．
表1：男生身高频数分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	11	4	5	3

表2：女生身高频数分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	2	8	15	12	2	1

（I）估计该校高一女生的人数：
（II）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（III）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）的学生人数，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （I）由表1、表2求得样本容量以及样本中男女生人数，求出高一女生人数；
（II）用频率估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（III）由题意知X的可能取值，求出对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（I）由表1和2可得，样本容量为70，样本中男女生人数分别为30，40，
则高一女生人数为1400×$\frac{40}{70}$=800，
因此估计该校高一女生人数为800；
（II）由表1和2可得样本中男女生身高在[165，180）的人数为：
5+11+4+12+2+1=35，样本容量为70，
所以样本中该校学生身高在[165，180）的概率为P=$\frac{35}{70}$=$\frac{1}{2}$，
即估计该校学生身高在[165，180）的概率为$\frac{1}{2}$；
（III）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，
由表格可知，女生身高在[165，180）的概率为$\frac{15}{40}$=$\frac{3}{8}$，
男生身高在[165，180）的概率为$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$，
所以P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{3}{8}$）=$\frac{5}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{8}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{3}{8}$=$\frac{10}{24}$+$\frac{3}{24}$=$\frac{13}{24}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{6}{24}$；
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{5}{24}$	$\frac{13}{24}$	$\frac{6}{24}$

数学期望为EX=0×$\frac{5}{24}$+1×$\frac{13}{24}$+2×$\frac{6}{24}$=$\frac{25}{24}$．

点评 本题考查了频率分布表与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．