Question

6．对于R上可导的函数f（x），若满足（x-1）f'（x）＜0，则必有（　　）

• A． f（0）+f（2）＜2f（1）
• B． f（0）+f（2）=2f（1）
• C． f（0）＜f（1）＜f（2）
• D． f（0）+f（2）＞2f（1）

Answer 1

分析 借助导数知识，根据（x-1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．

解答 解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x-1）f′（x）＞0
∴有$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{f′（x）＜0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{f′（x）＞0}\end{array}\right.$，
即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，
当x∈（-∞，1）时，f（x）为增函数
∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）
∴f（0）+f（2）＜2f（1）
故选：A．

点评 本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．