Question

16．已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，其中{a_n}的公差不为0．设S_n是数列{a_n}的前n项和．若a₁，a₂，a₅是数列{b_n}的前3项，且S₄=16．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}为等差数列，求实数t；
（3）构造数列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，若该数列前n项和T_n=1821，求n的值．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差d≠0．由a₁，a₂，a₅是数列{b_n}的前3项，且S₄=16．可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{5}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）$，4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=16，解得a₁，d，即可得出．
（2）S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．可得$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n-1+t}$．根据数列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}为等差数列，可得$2×\frac{4×{2}^{2}-1}{3+t}$=$\frac{3}{1+t}$+$\frac{35}{5+t}$，t²-2t=0．
解得t．
（3）由（1）可得：S_n=n²，数列{b_n}的前n项和A_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．数列{A_n}的前n项和U_n=$\frac{1}{2}×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$n．数列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，可得：该数列前k+$\frac{k（k-1）}{2}$=$\frac{k（k+1）}{2}$项和=k²+$\frac{{3}^{k}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$（k-1），根据3⁷=2187，3⁸=6561．进而得出．

解答 解：（1）设{a_n}的公差d≠0．∵a₁，a₂，a₅是数列{b_n}的前3项，且S₄=16．
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{5}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）$，4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=16，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴b₁=1，b₂=3，公比q=3．
∴b_n=3^n-1．
（2）S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．∴$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n-1+t}$．
∵数列{$\frac{4{S}_{n}-1}{{a}_{n}+t}$}为等差数列，
∴$2×\frac{4×{2}^{2}-1}{3+t}$=$\frac{3}{1+t}$+$\frac{35}{5+t}$，t²-2t=0．
解得t=2或0，经过验证满足题意．
（3）由（1）可得：S_n=n²，数列{b_n}的前n项和A_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．数列{A_n}的前n项和U_n=$\frac{1}{2}×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$n．
数列a₁，b₁，a₂，b₁，b₂，a₃，b₁，b₂，b₃，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k，…，
∴该数列前k+$\frac{k（k-1）}{2}$=$\frac{k（k+1）}{2}$项和=k²+$\frac{{3}^{k}-3}{4}$-$\frac{1}{2}$（k-1），
∵3⁷=2187，3⁸=6561．
∴取k=8，可得前$\frac{8×9}{2}$=36项的和为：${8}^{2}+\frac{{3}^{8}-3}{4}-\frac{1}{2}×7$=1700，
令T_n=1821=1700+$\frac{1}{2}（{3}^{m}-1）$，解得m=5．
∴n=36+5=41．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．