Question

12．在平面直角坐标系中，过定点M（0，-$\frac{1}{3}$） 的直线l交椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1于P，Q两点，则以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （1，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 设A点坐标，将直线PQ的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得A点坐标．

解答 解：设A（s，t），设直线PQ的方程：y=kx-$\frac{1}{3}$，k≠0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-$\frac{2kx}{3}$-$\frac{16}{9}$=0，
则x₁+x₂=$\frac{2k}{3（1+2{k}^{2}）}$，x₁x₂=-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$，
由∠PAQ=90°，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，
∴（x₁-s，y₁-t）（x₂-s，y₂-t）=0，
则（x₁-s）（x₂-s）+（kx₁-$\frac{1}{3}$-t）（kx₂-$\frac{1}{3}$-t）=0，
则（1+k²）x₁x₂-（s-$\frac{1}{3}$k+kt）（x₁+x₂）+s²+（t+$\frac{1}{3}$）²=0，
整理得：（-2+2s²+2t²）k²-$\frac{4sk}{3}$-$\frac{16}{9}$+（t+$\frac{1}{3}$）²=0，
由k∈R，则$\left\{\begin{array}{l}{-2+2{s}^{2}+2{t}^{2}=0}\\{-\frac{4s}{3}=0}\\{-\frac{16}{9}+（t+\frac{1}{3}）^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{s=0}\\{t=1}\end{array}\right.$，
则A（0，1），
当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ为短轴的端点，则且过点A（0，1）．
∴以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点A（0，1），
故选C．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．