Question

1．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}$=1（0＜m＜4）的左顶点为A，点N的坐标为（1，0）．若椭圆C上存在点M（点M异于点A），使得点A关于点M对称的点P满足PO=$\sqrt{2}$PN，则实数m的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1，因为PO=$\sqrt{2}$PN，所以可得：2x₀²+2y₀²=1．两式联立，表示出m，利用二次函数的图象和性质即可得出结论．

解答 解：依题意，M是线段AP的中点，A（-2，0），
设M（x₀，y₀），则 $\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1①，由题意知-2＜x₀＜2．
因为M是线段AP的中点，所以P（2x₀+2，2y₀）．
因为PO=$\sqrt{2}$PN，N的坐标为（1，0）．
所以$\sqrt{（2{x}_{0}+2）^{2}+（2{y}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{（2{x}_{0}+1）^{2}+（2{y}_{0}）^{2}}$．
整理可得：2x₀²+2y₀²=1，②
由①②消去y₀，整理可得m=$\frac{2-4{{x}_{0}}^{2}}{4-{{x}_{0}}^{2}}$=4-$\frac{14}{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
利用二次函数的图象和性质可得：当x₀=0时，m的最大值是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查二次函数的图象和性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确表示点的坐标是关键．