Question

13．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求三棱锥B-CD₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由DD₁⊥平面ABCD可得DD₁⊥AC，又AC⊥BD，故而AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）设AC，BD交于点O，以△B₁BD₁为棱锥的底面，则棱锥的高为OC，代入体积公式计算．

解答 解：（1）证明：∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
∵正方形ABCD中，∴AC⊥BD，
又DD₁?平面B₁D₁DB，BD?B₁D₁DB，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）∵B₁D₁=$\sqrt{2}$，BB₁=1，∴S${\;}_{△{B}_{1}B{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}•B{B}_{1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵设AB，CD交点为O，则OC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵AC⊥平面B₁D₁DB，
∴三棱锥B-CD₁B₁的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}B{D}_{1}}•OC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方体的结构特征，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．