Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，E为棱PB上一点，PD∥平面ACE，过E作PC的垂线，垂足为F．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于O，连结OE，由PD∥平面ACE可知OE∥PD，故E为PB中点，从而AE⊥PB，由BC⊥平面PAB可知BC⊥AE，推出AE⊥平面PBC，得到AE⊥PC，结合PC⊥EF，推出PC⊥平面AEF；
（2）由勾股定理求出AE，PB，PC，根据Rt△PEF≌Rt△PCB，列出比例式求出EF，PF，代入体积公式计算．

解答 （1）证明连结BD，交AC于O，连结OE，
∵底面四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点．
∵PD∥平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，
∴PD∥OE，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$，∴E是PB的中点．
∵PA=AB，∴AE⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，
∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE?平面AEF，EF?平面AEF，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF．
（2）∵PA=AB=1，底面ABCD是正方形，
∴PB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵Rt△PEF≌Rt△PCB，∴$\frac{PE}{PC}=\frac{PF}{PB}=\frac{EF}{BC}$，∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}×AE×EF$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴三棱锥P-AEF的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}×PF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{12}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{36}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．