Question

3．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x＜0}\\{g（x），x＞0}\end{array}\right.$是奇函数，则f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{2}，x＞1}\\{-\frac{x+1}{2}，x＜-1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由奇函数的性质求出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x＜0}\\{-2x-1，x＞0}\end{array}\right.$，由此能求出f^-1（x）．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x＜0}\\{g（x），x＞0}\end{array}\right.$是奇函数，
∴x＞0时，g（x）=-f（-x）=-[-2（-x）+1]=-2x-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x＜0}\\{-2x-1，x＞0}\end{array}\right.$，
当x＜0时，y=f（x）=-2x+1，x=$\frac{1-y}{2}$，∴f^-1（x）=$\frac{1-x}{2}$，x＞1，
当x＞0时，y=f（x）=-2x-1，x=-$\frac{y+1}{2}$，∴f^-1（x）=-$\frac{x+1}{2}$，x＜-1．
∴f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{2}，x＞1}\\{-\frac{x+1}{2}，x＜-1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{2}，x＞1}\\{-\frac{x+1}{2}，x＜-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．