Question

15．在△ABC中，已知b+c=2a，试推断是否存在p，使$\frac{1+cosB}{sinB}$+$\frac{1+cosC}{sinC}$=p•$\frac{sinA}{1-cosA}$成立？若存在，求p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 b+c=2a，可得sinB+sinC=2sinA，利用和差化积、同角三角函数基本关系式可得：$tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$．假设存在p，使$\frac{1+cosB}{sinB}$+$\frac{1+cosC}{sinC}$=p•$\frac{sinA}{1-cosA}$成立，利用倍角公式、和差化积、同角三角函数基本关系式可得：p=$\frac{sin\frac{A}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$，化简即可得出．

解答 解：∵b+c=2a，
∴sinB+sinC=2sinA，
化为$2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$=2×2$sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}$，
∴$cos\frac{B-C}{2}$=sin$\frac{A}{2}$=2$cos\frac{B+C}{2}$，
∴$tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$，
假设存在p，使$\frac{1+cosB}{sinB}$+$\frac{1+cosC}{sinC}$=p•$\frac{sinA}{1-cosA}$成立，
则$\frac{2co{s}^{2}\frac{B}{2}}{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}$+$\frac{2co{s}^{2}\frac{C}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=p$•\frac{2sin\frac{2}{2}cos\frac{A}{2}}{2si{n}^{2}\frac{A}{2}}$，
化为：$\frac{cos\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}}$+$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=p$\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$，
∴$\frac{sin\frac{C}{2}cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}sin\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=$\frac{sin\frac{B+C}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=$\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=p$\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$，$cos\frac{A}{2}$≠0，
∴p=$\frac{sin\frac{A}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=$\frac{cos\frac{B+C}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$=$\frac{1-tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}{tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=2，
因此存在p=2，满足$\frac{1+cosB}{sinB}$+$\frac{1+cosC}{sinC}$=2•$\frac{sinA}{1-cosA}$成立．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．