Question

13．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-10≥0\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x²+y²=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-10≥0\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$表示的平面区域D，如图所示，

要使∠APB最大，则∠OPB最大，
∵sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴只要OP最小即可，
即点P到圆心O的距离最小即可；
由图象可知当OP垂直于直线3x+4y-10=0，
此时|OP|=$\frac{|-10|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=2，|OA|=1，
设∠APB=α，则∠APO=$\frac{α}{2}$，即sin$\frac{α}{2}$=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
此时cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即cos∠APB=$\frac{1}{2}$，∴∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，
且cos∠PAB=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式，是综合性题目．