Question

8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，E，F分别是BB₁，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求二面角A₁-BC-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可取CC₁的中点M，并连接EM，FM，从而可以得到EM∥平面A₁BC，FM∥平面A₁BC，由面面平行的判定定理即可得出平面FEM∥平面A₁BC，从而有EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）根据条件可分别以AB，AC，AA₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可由AB=AC=AA₁求出图形上一些点的坐标，从而得出$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0），\overrightarrow{BF}=（-1，\frac{1}{2}，1）$，可设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$便可求出平面A₁BC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1）$，而同理可以求出平面FBC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2，2，1）$，从而可以求出$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$，这便可得出二面角A₁-BC-F的平面角的余弦值．

解答 解：
（Ⅰ）证明：如图，取CC₁中点M，连结EM，FM；
∵E，F分别是BB₁，A₁C₁的中点；
∴EM∥BC，FM∥A₁C；
∴EM∥平面A₁BC，FM∥平面A₁BC，且EM∩FM=M；
∴平面EFM∥平面A₁BC；
∴EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）根据题意知，AB，AC，AA₁三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系A-xyz，则：
B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），$F（0，\frac{1}{2}，1）$；
∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{BF}=（-1，\frac{1}{2}，1）$；
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=-{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得y₁=1，z₁=1，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1）$；
同理可得平面FBC的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2，2，1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{5}{\sqrt{3}•3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$；
所以二面角A₁-BC-F的余弦值为$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$．

点评 考查三角形中位线的性质，线面平行及面面平行的判定定理，面面平行的性质，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决几何问题的方法，能求空间点的坐标，平面法向量的概念及求法，以及向量夹角余弦的坐标公式．