Question

17．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平行移动．
（1）如果$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，求证：3EF=BC+2AD；
（2）如果$\frac{AE}{EB}$=$\frac{2}{3}$，求证：5EF=2BC+3AD．

Answer 1

分析 （1）可分别延长BA，CD，且交于O点，可设OA=x，AE=y，EB=2y，根据条件中的平行关系便可得到$\frac{x}{x+y}=\frac{AD}{EF}$①，$\frac{x}{x+3y}=\frac{AD}{BC}$②，这样①②联立可消去y得到（3EF-2AD-BC）•x=0，从而便可得出3EF=BC+2AD；
（2）证明方法同（1），可设AE=2y，EB=3y，根据平行关系便可得出两个关于x，y的等式，消去y即可得出5EF=2BC+3AD．

解答 证明：如图，分别延长BA，CD，设交于O点，设OA=x；
（1）如果$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，设AE=y，EB=2y；
∵AD∥EF；
∴$\frac{x}{x+y}=\frac{AD}{EF}$①；
∵AD∥BC；
∴$\frac{x}{x+3y}=\frac{AD}{BC}$②；
①②联立消去y得，（3EF-2AD-BC）•x=0；
∴3EF-2AD-BC=0；
∴3EF=BC+2AD；
（2）如果$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，设AE=2y，EB=3y；
∵AD∥EF；
∴$\frac{x}{x+2y}=\frac{AD}{EF}$③；
∵AD∥BC；
∴$\frac{x}{x+5y}=\frac{AD}{BC}$④；
③④联立消去y得，（5EF-3AD-2BC）•x=0；
∴5EF=2BC+3AD．

点评 考查平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定，相似三角形的对应边的比例关系，消元法解二元一次方程的方法．