Question

9．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ≤$\frac{π}{2}$），则四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$]
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 先根据条件得到四边形ABCD的面积S=sinθ，由余弦定理可求得AC=$\sqrt{2-2cosθ}$，即可得到PA，进而表示出四棱锥P-ABCD的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题．

解答 解：S_菱形ABCD=$2•\frac{1}{2}AB•BC•sinθ$=sinθ，
在△ABC中，由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcosθ}$=$\sqrt{2-2cosθ}$．
∵PA•AC=1，∴PA=$\frac{1}{\sqrt{2-2cosθ}}$．
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{\sqrt{2}}{6}×$$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1-cosθ}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}×\sqrt{1+cosθ}$．
∵0＜θ≤$\frac{π}{2}$，∴0≤cosθ＜1．∴$\frac{\sqrt{2}}{6}$≤V＜$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的最值，棱锥的体积计算，属于中档题．