Question

4．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理可得EF∥CD，故EF∥平面BCD；
（2）以BCD为底面，则棱锥的高为AB，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，
∴EF∥CD，又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，
∴∠ADB=45°，
∴AB=BD=4，
∵BC⊥BD，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×BD$=6．
∴三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=8．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．