Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C为锐角且$\sqrt{15}$asinA=bsinBsinC，b=2a．
（1）求tanC的值；
（2）若a+c=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{15}$asinA=bsinBsinC，由正弦定理可得：$\sqrt{15}$a²=b²sinC，又b=2a．可得：$\sqrt{15}$a²=4a²sinC，化为sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）由a+c=6，可得c=6-a，利用余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，解得a，b，c．即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{15}$asinA=bsinBsinC，由正弦定理可得：$\sqrt{15}$a²=b²sinC，又b=2a．
∴$\sqrt{15}$a²=4a²sinC，化为sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，C为锐角，∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{1}{4}$，tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\sqrt{15}$．
（2）由a+c=6，可得c=6-a，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-（6-a）^{2}}{2a×2a}$=$\frac{1}{4}$，解得a=2，b=4，c=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．