Question

7．若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且$\frac{S_3}{3}=\frac{S_2}{2}+5$，则$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=5．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由已知可得$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$的表达式，求极限可得．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则由$\frac{S_3}{3}=\frac{S_2}{2}+5$可得$\frac{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d}{3}$=$\frac{2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d}{2}$+5，
解得d=10，故$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d}{{n}^{2}}$=$\frac{5{n}^{2}+（{a}_{1}-5）n}{{n}^{2}}$=5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$，
∴$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=$\underset{lim}{n→∞}$（5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$）=5
故答案为：5

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及极限的运算，属基础题．