Question

10．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=$\frac{1}{2}$PD=1．
（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；
（Ⅲ）求三棱锥P-MDC的体积．

Answer 1

分析 （I）由AB∥CD，MA∥PD可得平面MAB∥平面PDC，故MB∥平面PDC；
（II）由平面ABCD⊥平面AMPD可得CD⊥平面AMPD，故CD⊥PM，由勾股定理计算MP，MD，可得MP²+MD²=PD²，即PM⊥MD，于是MP⊥平面MDC；
（III）以△MDC为棱锥的底面，则PM为棱锥的高，代入体积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=D，AB?平面ABM，MA?平面ABMCD?平面PDC，PD?平面PDC，
∴平面ABM∥平面PDC，
∵MB?平面ABM，
∴MB∥平面PDC．
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面AMPD，平面ABCD∩平面AMPD=AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面AMPD，∵PM?平面AMPD，
∴CD⊥PM．
∵在直角梯形AMPD中，由$MA=AD=\frac{1}{2}PD=1$，得$MD=PM=\sqrt{2}$，
∴PM²+MD²=PD²，∴MD⊥PM，
又CD∩MD=D，CD?平面MDC，MD?平面MDC，
∴PM⊥平面MDC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知PM是三棱锥P-MDC的高，${S_{△MDC}}=\frac{1}{2}CD•MD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴三棱锥P-MDC的体积$V=\frac{1}{3}{S_{△MDC}}•PM=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．