Question

1．已知θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求sin2θ的值．
（2）求sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$两边同时平方，利用同角三角函数关系式能求出sin2θ．
（2）由θ∈（0，$\frac{π}{4}$），得2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），利用同角三角函数关系式求出cos2θ，由此利用正弦加法定理能求出sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{3}{2}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$．
（2）∵θ∈（0，$\frac{π}{4}$），∴2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos2θ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=sin2θcos$\frac{π}{4}$+cos2θsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．