Question

13．已知复数z=a+bi（a，b∈R，b≠0，i为虚数单位），且2z+$\frac{1}{z}$为实数，求2z+$\frac{1}{z}$的取值范围．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．

解答 解：2z+$\frac{1}{z}$=2（a+bi）+$\frac{1}{a+bi}$=2a+2bi+$\frac{a-bi}{（a+bi）（a-bi）}$=2a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+（2b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）i为实数，
∴2b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，b≠0，解得a²+b²=$\frac{1}{2}$．
∵b≠0，∴a∈$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴2z+$\frac{1}{z}$=2a+2a=4a∈$（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．