Question

4．设S_n是等差数列的前n项和，已知a₃=6，S₉=36．
（1）求a_n和S_n；
（2）设b_n=p${\;}^{{a}_{n}}$（p为大于1的常数），证明：数列{b_n}是等比数列；
（3）在（2）的条件下，设C_n=b₁•b₂…b_n，试求使c_n最小时n的值．

Answer 1

分析 （1）等差数列的通项公式和前n项和公式，列出关于a₁，d的方程组解得即可，
（2）根据等比数列的定义即可证明，
（3）利用指数函数的性质和符合函数的单调性即可求出使c_n最小时n的值．

解答 解：（1）a₃=6，S₉=36，设公差为d，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=6}\\{9{a}_{1}+\frac{9（9-1）d}{2}=36}\end{array}\right.$，
解得d=2，a₁=-4，
∴a_n=-4+2（n-1）=2n-6，
S_n=$\frac{n（-4+2n-6）}{2}$=n²-5n，
（2）b_n=p${\;}^{{a}_{n}}$=p^2n-6，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=p^{（2n-6）-（2n-8）}=p²，
∵p为大于1的常数，
∴p²为定值，
∴b₁=p^-4，
∴数列{b_n}是p^-4为首项，以p²为公比的等比数列，
（3）由（2）可知，b_n=p^2n-6，
∴C_n=b₁•b₂…b_n=p^-4•p^-2…p^2n-6=${p}^{{n}^{2}-5n}$，
∵p为大于1的常数，
∴y=p^x为增函数，
∵t=n²-5n在（0，$\frac{5}{2}$）时减函数，在（$\frac{5}{2}$，+∞）为增函数，
∴y=C_n在（0，$\frac{5}{2}$）时减函数，在（$\frac{5}{2}$，+∞）为增函数，
当n=2时，C₂=p^-6，
当n=3时，C₃=p^-6，
∴使c_n最小时n的值2或3．

点评 本题考查了等差数列等比数列的通项公式和前n项和公式，复合函数的单调性，属于中档题．