Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cos2B-$\sqrt{3}$cos（A+C）=2．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求AC边上高h的最大值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式计算cosB；
（2）利用余弦定理求出ac的最大值，根据三角形的面积求出高．

解答 解：（I）在△ABC中，∵cos2B-$\sqrt{3}$cos（A+C）=2，
∴2cos²B-1+$\sqrt{3}$cosB=2，解得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或cosB=-$\sqrt{3}$（舍）．
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a²+c²=4+$\sqrt{3}$ac≥2ac，解得ac≤4（2+$\sqrt{3}$）．
∴S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{4}ac$≤2+$\sqrt{3}$．
又∵S=$\frac{1}{2}bh$≤2+$\sqrt{3}$，∴h≤2+$\sqrt{3}$．
∴AC边上高h的最大值为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．