Question

14．（x²+2）（x-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中常数项为-25．

Answer 1

分析 线求出（x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项与含$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数，再求（x²+2）（x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项．

解答 解：（x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3，
∴T₃₊₁=（-1）³•${C}_{6}^{3}$=-20；
令6-2r=-2，解得r=4，
∴T₄₊₁=（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$=15•$\frac{1}{{x}^{2}}$；
∴（x²+2）（x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式中常数项为：
2×（-20）+15=-25．
故答案为：-25．

点评 本题考查了利用二项展开式的通项公式求展开式中特定项的应用问题，熟练掌握二次项系数的特征是解题的关键