Question

3．如图，点E是平行四边形ABCD对角线BD的4等分点中最靠近点D的那个分点，线段AE的延长线交CD于点F，若|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=60°，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AD}$的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据△DEF∽△BEA得出$\overrightarrow{DF}$与$\overrightarrow{AB}$的数量关系，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AF}$进行计算．

解答 解：∵△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）$•\overrightarrow{AD}$=${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1+$\frac{1}{3}×2×1×cos$60°=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．