Question

13．正三棱锥P-ABC中，底面边长等于1，侧棱PA=$\sqrt{2}$，D，E分别为AB，PC中点，求：
（1）异面直线PD与BE所成角的余弦值；
（2）BE与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点D，连结CD，取CD中点M，连结EM，BM，推导出∠BEM是异面直线PD与BE所成角，由此能求出异面直线PD与BE所成角的余弦值．
（2）过P作PO⊥平面ABC，O是垂足，过E作EF⊥平面ABC，F是垂足，∠EBF是BE与平面ABC所成角，由此能求出BE与平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）取AB中点D，连结CD，取CD中点M，连结EM，BM，
∵正三棱锥P-ABC中，底面边长等于1，侧棱PA=$\sqrt{2}$，D，E分别为AB，PC中点，
∴EM∥PD，∴∠BEM是异面直线PD与BE所成角，
由题意得PD=$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，CD=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EM=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
cos∠BPE=$\frac{2+2-1}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{2+\frac{1}{4}-B{E}^{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
BM=$\sqrt{B{D}^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos∠BEM=$\frac{B{E}^{2}+M{E}^{2}-B{M}^{2}}{2×BE×EM}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{7}{16}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴异面直线PD与BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）过P作PO⊥平面ABC，O是垂足，过E作EF⊥平面ABC，F是垂足，
则∠EBF是BE与平面ABC所成角，
OD=$\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{6}$，PO=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{4}-\frac{1}{12}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，EF=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{15}}{6}$，
∴sin∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴BE与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正弦直线所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空让思维能力的培养．